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誰是世界上最孤獨的數?

看到哪個數,你會覺得最孤獨?

有人會說是1,因為它孤身一人。有人會說是0,因為它沒有任何存在感。有人會說是214,有人會說是419(咦)。這些都是字面上的直接聯想,因人而異,很難說哪個比哪個更加孤獨。

然而對一個學過數學的人來說,確實存在一個最“孤獨”的數。這個數就是所謂的黃金分割率φ。許多人說它是最美的數,美不美這種事情是一個主觀概念——但我們能從數學上證明,它是最“無理”的數,最難以接近的數,因而在這個意義上,是最孤獨的數。

圖片來源:www.cosmomyth.com

越走越近,卻永遠不能在一起

一個無理(irrational)數有很多種表現方式。我們最熟悉的是無限不循環小數的形式,每多寫下一位數,就是用一個更加精確的有理(rational數去逼近它。當然,這個過程永遠到不了盡頭。

但是無理數也可以用分數的形式表現,只不過這個分數也是無窮無盡的——這就需要“連分數”。不要怕,這里的全部數學只是加減乘除和通分,不超過小學五年級。

先用一個有理數作為例子:1024/137,約等于7.47445255。

第一級近似:7,于是它變成了?7 + 65/137。

第二級近似:把第一級留下的分數倒過來,137/65 近似是2,于是它變成了 2 + 7/65,于是開始的那個數字就變成了 7 + 1 / ( 2 + 7/65 )。

第三級近似:對7/65進行類似處理,以此類推。

最后得到的結果是

或者,省去那些多余的1,可以表達為 [7; 2, 9, 3, 2]。

能夠證明,每一個有限的連分數都代表一個有理數,而每一個有理數能且只能表示成兩種形式的連分數(要求第一個系數是整數,剩下的全是正整數)。比如上面那個數也可以表示為?[7; 2, 9, 3, 1,?1]。除這兩種之外再沒有別的寫法了。

同樣的步驟完全適用于無理數,但這時得到的連分式就會一直延續下去。比如,π的連分式可以表示為

或者用簡化的表達式:[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, ...]。這個數列在“整數數列線上大全”(OEIS)中的編號是A001203

一步一米,或者一步十年

使用連分數來逼近,就會遇到一個“逼近速度”的問題:每前進一步,近似值向精確值靠近了多少呢?

回到π的例子。我們先看第一位近似——7。忽略后面剩下的:

π ≈ 3 + 1/7 = 22/7?≈ 3.142...

熟悉嗎?這就是當年祖沖之發現的“約率”。

如果接下來看到第三位近似:

π ≈ 3 + 1 / ( 7 + 1 / (15 + 1) ) = 3 + 1 / ( 113?/ 16?) = 355/113?≈ 3.1415929...

也即祖沖之的“密率”。二者都是對π的極好的近似。

這就是連分數的一個神奇屬性:當你得到一個連分數后,你就自動獲得了“最快”的逼近精確值的方式。這有點違反直覺——當你用7作為分母的時候,最小的單位就是1/7,那么誤差范圍應該是1/14以內吧?實際上,使用連分數獲得的誤差范圍不是1/14以內,而是1/49以內!?22/7 - π ≈ 0.0126 <?(1/7)^2。

更一般地,假如一個無理數α,它的某一步連分式展開后變成了 p / q 的形式,那么一定有

| α - p/q | < 1 /?q^2

而且, 這一定是當前最好的精確值,任何比它更精確的分式都一定需要更大的分母。π的前三級展開,分別是 22/7、333/106、355/113;你在1-6的范圍內一定找不到比7更好的,1-112的范圍內一定找不到比113更好的。但是,7卻比8、9、10……都要好。因此可以說,連分數在某種意義上揭示了一個無理數的深層結構。

那么回到我們開始的問題。最快的逼近速度有多快?從上面的公式可以看出來,這完全取決于連分式里具體的每個數——數字越大逼近越快,數字越小逼近越慢。祖沖之能發現約率和密率,部分原因是因為他運氣好,π開頭的這倆數正好都不小,所以能給出很漂亮的逼近。

而最小的正整數,當然就是1了。

黃金分割率,最漫長的旅程

如果有這樣一個數:[1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]?

或者,

你肯定猜到了,這就是傳說中的黃金分割數φ,1.61803398... 如果去掉前面的1就會得到另一個常見形式:0.618... ?而這兩個數正好互為倒數。從連分式這個形式就能看出來為什么。

lucas infinite.gif

我們試著逼近一下,得到的是

2/1 = 2

3/2 = 1.5

5/3?= 1.66666...

8/5?= 1.6

13/8?= 1.625

21/13?= 1.61538...

進行了6次近似,結果才到小數點后2位!剛才我們用π僅僅進行了2次近似,就精確到了小數點后6位。

(你可能注意到了,這個連分數的每一級逼近,就是傳說中的斐波那契數列。為什么?你猜。)

1是最小的正整數。因此,φ,這個全部由1組成的連分數,是所有數中最難以接近的數。沒有之一。

孤獨的數,高冷的數,獨一無二的數,不可捉摸的數

許多人說φ是最美的數,貫穿整個西方藝術史,所有優秀的設計都要用到它。這其實是夸大其詞了。很多所謂的顯示了黃金分割率的圖,其實只是強行把一個對數螺線罩上去而已,二者并沒有什么相似之處。黃金分割率是19世紀才開始流行的觀念,達芬奇本人從未提過;現實中大部分比例(3:2,4:3,16:9)固然和黃金率離得不“太”遠,但幾乎見不到精確符合它的;人體并不嚴格符合黃金律;如果你讓藝術系的學生挑選他們眼中最美的的長方形,挑出來的長寬比并不是圍繞黃金律的。一項實驗表明,只要是1.4-1.7范圍內的長方形,人們都會覺得好看。黃金率在審美上沒有什么特殊之處,我們看到的只是人們企圖攀附它來尋找所謂的理論依據而已。

請問這張圖里前面那個對數螺線和后面那個建筑除了一樣寬之外還有幾毛錢的關系?圖片來源:?Sébastien Bertrand

然而,自然界“懂得”它的真正含義。

想象你是一朵向日葵。你的果實和種子是在中心生長出來的,然后逐漸被“推”到外面去,過程中逐漸變大——因此傳統的密堆方式(比如蜂巢那樣的六邊形)就不能用了。但是每長出一粒新的籽,你可以選擇旋轉一定的角度然后再長下一顆。

如果你旋轉90度,也就是1/4個圓,結果就是這樣:

因為外圈的空間比內圈大,所以有些地方你永遠用不到。這很浪費空間。選擇任何分數——1/3、1/4、2/5、3/7……結果都是這樣,形成周期的圖樣,而兩個周期中間的地方,總觸及不到。

要想避開周期,只能用無理數。結果就是這樣:

大有改善,但是還有很多縫隙沒用上。畢竟,無理數是可以用連分數近似的。近似得太好的話,就和分數沒有太多差別。

因此,我們必須找一個距離分數最遠的、最難近似的、最無理的數,這樣才不會產生周期性,才能補上中間的那些空隙。

這就是φ。它所對應的角度,大約是137.5度。

這個數字必須極其精確,不然就會毀掉整個圖樣。往上數第二張圖——那是137.6度,多了0.1而已。但自然界很明顯抓住了這個數。向日葵當然不懂這背后的數學原理,但在自然選擇的壓力下它猜中了答案。

本系列圖片來源:《一道八百年松鼠難題》by 桔子幫小幫主,下圖不再一一注明

下面這個flash可以模擬不同的取值所帶來的后果。輸入0.618,再比較一下0.617和0.619的結果。如果說φ里體現了美,我倒寧愿認為是它展現了自然界的一角,而不是因為似是而非的神秘主義。

總之,不論在審美的意義上φ是否是一個美的數,在數學的意義上φ是一個高冷的數。它最為高效,然而又最難靠近,最是無理,因此,它也是最孤獨的數。

而相比之下,一個人之所以孤獨,則常常不是因為無理,而是因為過于理性了。(編輯:Calo)

The End

發布于2015-08-20, 本文版權屬于果殼網(guokr.com),禁止轉載。如有需要,請聯系果殼

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古生物學博士生,科學松鼠會成員

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